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为什么z=∞是1/(1+z)的可去奇点?

举一个反例便知:f(z) = 1/z,它在无穷远点的极限是0,是可去奇点。根据扩充复平面内所有奇点的留数和为0知,f(z)在∞的留数等于f(z)在0处留数的相反数,后者等于1,故Res[f(z),∞] = -1。 通过这个例子知道,无穷远点是可取奇点,但留数不一定为0...

如图所示:不一定是0,以下提供两个例子

草长莺飞二月天,拂堤杨柳醉春烟.

如图

如果是f(z)=z^2e^1/2,则Res[f(z),0]=0,如果是f(z)=z^2e^1/z,

用柯西积分公式,以及它的推论(高阶导数公式) 首先,分解1/(z(z-1)^2) =1/z - 1/(z-1)+1/(z-1)^2 其次,原积分=∮sinz/z dz - ∮sinz/(z-1) dz + ∮sinz/(z-1)^2 dz=2πi×sin0-2πi×sin1+2πi×cos0=0-2πsin1 i+2πi=2π(1-sin1)i

如图所示、发现这个关系 用参数可以解决的

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