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高数,如何证明数列x(n+1)=2+1/xn存在极限?

先用数学归纳法证明对一切 n∈ N* ,都有 Xn>1 然后,在原始等式中,两边同时减去Xn,右侧通分, 得到 X(n+1)-Xn=(1-Xn)(1+Xn) / 2Xn 由于第一步已经证明了Xn>1,那么等式右边的三个因子,有两个是正的,有一个是负的, 所以右边<0,那么...

对任意 ε>0,存在正整数N也就是说对任意一个 ε>0,必定存在至少一个正整数N,使得极限定义成立,故 ε可以任意取值,这里之所以取1/2,是因为可使xn所在的区间长度小于2,得出矛盾,并不是说 ε只能取1/2,只是为了证明这道题而取

这种用单调有界来证明极限存在的问题最好反过来先求极限,然后拿极限值作为参考进行放缩 设极限是A,递推式两边对n求极限 A=1+A/(1+A),A^2-A-1=0,A=(1+√5)/2(舍掉负根) xn>=1显然成立,x[n+1]=2-1/(1+xn)

过程如下图片:

单调递交有下届 单调性做除法,下届用不等式证

令f(x)=X^n+X^n-1+....+X^2+X-1, 则f(0)=-1=2-1=1 显然f(x)是单增函数,所以在(0,1)内必有唯一实根Xn 左边有 我们说看到Xn是关于n单减的,下面用反证法证明: 如若不然,则存在k>=2,使 Xk+1>=Xk 有 1 = (Xk+1)^(k+1) + (Xk+1)^(k)+ ... +Xk+1 ...

(1)f′(x)=1x?1x2=x?1x2,令f'(x)=0,得唯一驻点x=1,当x∈(0,1)时,f'(x)<0,函数单调递减;当x∈(1,∞)时,f'(x)>0,函数单调递增.所以函数x=1处取得最小值f(1)=1.(2)证明:由于lnxn+1xn+1<1,但lnxn+1xn≥1,所以1xn+1<...

因为x0>0,且xn+1=xn2+1xn,所以:xn>0,①若x0=2,由xn+1=xn2+1xn可知,后边的所有项均为2,则此时数列{xn}收敛,且极限为2.②若x0≠2,由xn+1=xn2+1xn可知,显然有:xn+1>2,又因为xn+1xn=12+1

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